Задача 37. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: \(y=Cx^4\), \(\varphi=90^o\).

Решение
Составим дифференциальное уравнение.
Выразим \(C\):
\[C=\frac{y}{x^4}\]
Продифференцируем уравнение:
\[y'=4Cx^3\]
Подставим \(C\):
\[y'=4Cx^3=\frac{4y}{x}\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[y'=\frac{4y}{x}.\]
Для кривых пересекающих данное семейство под углом \(\varphi=90^o\) (кривые перпендикулярны) производная равна \(-1/y'\), соответственно уравнение будет иметь вид:
\[y'=-\frac{x}{4y}.\]