Задача 37. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение траекторий, пересекающих семейство линий под заданным углом: $y=Cx^4$, $\varphi=90^o$.

Решение
Составим дифференциальное уравнение.
Выразим $C$:
$$C=\frac{y}{x^4}$$
Продифференцируем уравнение:
$$y'=4Cx^3$$
Подставим $C$:
$$y'=4Cx^3=\frac{4y}{x}$$
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
$$y'=\frac{4y}{x}.$$
Для кривых пересекающих данное семейство под углом $\varphi=90^o$ (кривые перпендикулярны) производная равна $-1/y'$, соответственно уравнение будет иметь вид:
$$y'=-\frac{x}{4y}.$$