Задача 36. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти систему дифференциальных уравнений для семейства линий $x^2 +y^2 =z^2-2bz$, $y=ax+b$.

Решение
Продифференцируем уравнения семейства линий по $x$, считая что $y=y(x)$ и $z=z(x)$ являются функциями от $x$.
$$2x+2yy'=2zz'-2bz' \ \Rightarrow \ x+yy'=zz'-bz'$$
$$y'=a$$
Выразим параметры $a$ и $b$ из полученных уравнений:
$$a=y'$$
$$b=\frac{zz'-x-yy'}{z'}$$
Подставим $a$ и $b$ в исходные уравнения.
Подставим $a$ и $b$ во второе уравнение:
$$y=ax+b \ \Rightarrow \ y=xy'+\frac{zz'-x-yy'}{z'}$$
$$z'(y-xy')=zz'-x-yy'$$
Подставим $a$ во второе уравнение и выразим $b$:
$$b=y-y'x$$
Подставив полученное $b$ в первое уравнение, получим:
$$x^2 +y^2 =z^2-2bz \ \Rightarrow \ x^2 +y^2 =z^2-2(y-y'x)z$$
Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет вид:
$$z'(y-xy')=zz'-x-yy'; \ x^2 +y^2 =z^2-2(y-y'x)z.$$