Задача 36. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти систему дифференциальных уравнений для семейства линий $x^2+y^2=z^2-2bz$, $y=ax+b$.

Решение
Продифференцируем уравнения семейства линий по $x$, считая что $y=y(x)$ и $z=z(x)$ являются функциями от $x$.
$$2x+2y{y}^{\prime }=2z{z}^{\prime }-2b{z}^{\prime }\Rightarrow x+y{y}^{\prime }=z{z}^{\prime }-b{z}^{\prime }$$
$$y^{\prime }=a$$
Выразим параметры $a$ и $b$ из полученных уравнений:
$$a=y^{\prime }$$
$$b=\frac{z{z}^{\prime }-x-y{y}^{\prime }}{z^{\prime }}$$
Подставим $a$ и $b$ в исходные уравнения.
Подставим $a$ и $b$ во второе уравнение:
$$y=ax+b\Rightarrow y=x{y}^{\prime }+\frac{z{z}^{\prime }-x-y{y}^{\prime }}{z^{\prime }}$$
$$z^{\prime }(y-x{y}^{\prime })=z{z}^{\prime }-x-y{y}^{\prime }$$
Подставим $a$ во второе уравнение и выразим $b$:
$$b=y-y^{\prime }x$$
Подставив полученное $b$ в первое уравнение, получим:
$$x^2+y^2=z^2-2bz\Rightarrow x^2+y^2=z^2-2(y-y^{\prime }x)z$$
Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет вид:
$$z^{\prime }(y-x{y}^{\prime })=z{z}^{\prime }-x-y{y}^{\prime };x^2+y^2=z^2-2(y-y^{\prime }x)z.$$