Задача 36. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти систему дифференциальных уравнений для семейства линий \(x^2 +y^2 =z^2-2bz\), \(y=ax+b\).

Решение
Продифференцируем уравнения семейства линий по \(x\), считая что \(y=y(x)\) и \(z=z(x)\) являются функциями от \(x\).
\[2x+2yy'=2zz'-2bz' \ \Rightarrow \ x+yy'=zz'-bz'\]
\[y'=a\]
Выразим параметры \(a\) и \(b\) из полученных уравнений:
\[a=y'\]
\[b=\frac{zz'-x-yy'}{z'}\]
Подставим \(a\) и \(b\) в исходные уравнения.
Подставим \(a\) и \(b\) во второе уравнение:
\[y=ax+b \ \Rightarrow \ y=xy'+\frac{zz'-x-yy'}{z'}\]
\[z'(y-xy')=zz'-x-yy'\]
Подставим \(a\) во второе уравнение и выразим \(b\):
\[b=y-y'x\]
Подставив полученное \(b\) в первое уравнение, получим:
\[x^2 +y^2 =z^2-2bz \ \Rightarrow \ x^2 +y^2 =z^2-2(y-y'x)z\]
Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет вид:
\[z'(y-xy')=zz'-x-yy'; \ x^2 +y^2 =z^2-2(y-y'x)z.\]