Задача 35. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти систему дифференциальных уравнений для семейства линий \(ax + z = b\), \(y^2+z^2=b^2\).

Решение
Продифференцируем уравнения семейства линий по \(x\), считая что \(y=y(x)\) и \(z=z(x)\) являются функциями от \(x\).
\[a+z'=0\]
\[2yy'+2zz'=0 \ \Rightarrow \ yy'+zz'=0 \]
Получаем, одно из уравнений: \(yy'+zz'=0\). Чтобы найти второе, выразим \(a\) и подставим его в первое уравнение семейства линий.
\[a=-z'\]
Тогда:
\[-z'x+z=b\]
Отсюда:
\[b=z-z'x\]
Подставим b во второе уравнение семейства линий \(y^2+z^2=b^2\):
\[y^2+z^2=(z-z'x)^2\]
\[y^2+z^2=z^2-2zz'x+z'^2x^2\]
\[y^2+2zz'x-z'^2x^2=0\]
Таким образом, система дифференциальных уравнений имеет вид:
\[yy'+zz'=0; \ y^2+2zz'x-z'^2x^2=0.\]