Задача 34. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение всех окружностей, касающихся оси абсцисс.

Решение
Составим уравнение окружностей. Уравнение окружности: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Построим схематично семейство окружностей, касающихся оси абсцисс:

Очевидно, в данном случае \(b=R\). Уравнение семейства окружностей:
\[(x-a)^2+(y-b)^2=b^2\]
Составим дифференциальное уравнение. Продифференцируем уравнение семейства окружностей дважды.
\[2(x-a)+2(y-b)y'=0 \ \Rightarrow \ x-a+yy'-by'=0 \]
\[1+y'y'+y''y-by''=0\]
Выразим параметры \(a\) и \(b\) из полученных уравнений:
\[b=\frac{1+y'^2+y''y}{y''}\]
\[a=x+yy'-\frac{1+y'^2+y''y}{y''}y'=\frac{xy''-y'-y'^3}{y''}\]
Подставим \(a\) и \(b\) в уравнение семейства окружностей \((x-a)^2+(y-b)^2=b^2\):
\[\Bigl(x-\frac{xy''-y'-y'^3}{y''}\Bigr)^2+\Bigl(y-\frac{1+y'^2+y''y}{y''}\Bigr)^2=\Bigl(\frac{1+y'^2+y''y}{y''}\Bigr)^2\]
\[(y'+y'^3)^2+(1+y'^2)^2=(1+y'^2+y''y)^2\]
\[y'(1+y'^2)^2+(1+y'^2)^2=(1+y'^2+y''y)^2\]
\[(1+y'^2)^3=(1+y'^2+y''y)^2\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[(1+y'^2)^3=(1+y'^2+y''y)^2.\]