Задача 33. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение всех парабол с осью, параллельной \(Oy\), и проходящих через начало координат.

Решение
Составим уравнение парабол. Общее уравнение параболы: \(y = ax^2 + bx+c\). Поскольку параболы должны проходить через начало координат \((0,0)\), то \(c=0\). Соответственно уравнение имеет вид:
\[y = ax^2 + bx\]
Составим дифференциальное уравнение. Продифференцируем уравнение семейства парабол дважды.
\[y'=2ax+b\]
\[y''=2a\]
Выразим параметры \(a\) и \(b\):
\[a=\frac{y''}{2}\]
\[b=y'-xy''\]
Подставим \(a\) и \(b\) в уравнение семейства парабол:
\[y = \frac{x^2y''}{2} + x(y'-xy'')\]
\[x^2y'' + 2x(y'-xy'')-2y=0\]
\[x^2y'' + 2xy'-2x^2y''-2y=0\]
\[x^2y'' - 2xy'+2y=0\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[x^2y'' - 2xy'+2y=0\]