Задача 32. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение окружностей, касающихся одновременно прямых \(y = 0\) и \(x=0\) и расположенных в первой и третьей четвертях.

Решение
Составим уравнение окружностей.
Уравнение окружности: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), где \(R\) - радиус, \((a,b)\) - центр окружности.
Построим схематично семейство окружностей касающихся одновременно прямых \(y = 0\) и \(x=0\) и расположенных в первой и третьей четвертях:

Как видно, центры окружностей лежат на прямой \(y=x\), следовательно \(a=b\). И так как окружности касаются осей \(y = 0\) и \(x=0\), то \(R=|a|\). Получаем, уравнение семейства окружностей имеет вид:
\[(x-a)^2+(y-a)^2=a^2\]
Составим дифференциальное уравнение. Продифференцируем уравнение семейства окружностей.
\[2(x-a)+2(y-a)y'=0\]
Выразим \(a\):
\[x-a+yy'-ay'=0\]
\[a=\frac{x+yy'}{1+y'}\]
Подставим \(a\) в уравнение семейства окружностей:
\[\Bigl(x-\frac{x+yy'}{1+y'}\Bigr)^2+\Bigl(y-\frac{x+yy'}{1+y'}\Bigr)^2=\Bigl(\frac{x+yy'}{1+y'}\Bigr)^2\]
\[(x(1+y')-(x+yy'))^2+(y(1+y')-(x+yy'))^2=(x+yy')^2\]
\[(xy'-yy')^2+(y-x)^2=(x+yy')^2\]
\[y'^2(x-y)^2+(y-x)^2=(x+yy')^2\]
\[(y'^2+1)(x-y)^2=(x+yy')^2\]
\[(y'^2+1)(x^2-2xy+y^2)=x^2+2xyy'+y^2y'^2\].
\[y'^2x^2-2xyy'^2+y'^2y^2 +x^2-2xy+y^2=x^2+2xyy'+y^2y'^2\]
\[y'^2x^2-2xyy'^2-2xy+y^2=2xyy'\]
\[y'^2x^2-2xyy'+y^2=2xyy'^2 +2xy\]
\[(y'x-y)^2=2xy(y'^2 +1)\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[(y'x-y)^2=2xy(y'^2 +1).\]