Составить дифференциальное уравнение парабол с осью, параллельной \(Oy\), и касающихся одновременно прямых \(y = 0\) и \(y = x\).
Решение
Составим уравнение парабол с осью, параллельной \(Oy\), и касающихся одновременно прямых \(y = 0\) и \(y = x\):
Общее уравнение параболы: \(y = ax^2 + bx+c\). Поскольку парабола должна касаться прямых \(y = 0\) и \(y = x\), то мы получаем условия для производной \(y'=0\) и \(y'=1\).
\[y'=2ax+b\]
Рассмотрим условие касания прямой \(y = 0\): \(y'=0 \ \Rightarrow \ 2ax+b=0\). То есть, парабола касается прямой \(y=0\) в точке \((-b/2a,0)\). Подставим эту точку в уравнение параболы:
\[0=a\Bigl(\frac{-b}{2a}\Bigr)^2+b\frac{-b}{2a}+c\]
\[0=\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c\]
\[0=-\frac{b^2}{4a}+c\]
\[c=\frac{b^2}{4a}\]
Рассмотрим условие касания прямой \(y = x\): \(y'=1 \ \Rightarrow \ 2ax+b=1\). То есть, парабола касается прямой \(y=x\) в точке \(((1-b)/2a,(1-b)/2a)\). Подставим эту точку в уравнение параболы:
\[\frac{1-b}{2a}=a\Bigl(\frac{1-b}{2a}\Bigr)^2+b\frac{1-b}{2a}+c\]
\[\frac{1-b}{2a}-\frac{(1-b)^2}{4a}-b\frac{1-b}{2a}=c\]
\[\frac{(1-b)^2}{2a}-\frac{(1-b)^2}{4a}=c\]
\[\frac{(1-b)^2}{4a}=c\]
Приравняв полученные из двух условий \(c\), получим:
\[\frac{b^2}{4a}=\frac{(1-b)^2}{4a}\]
\[b^2=(1-b)^2\]
\[b^2=1-2b+b^2\]
\[1-2b=0\]
\[b=\frac{1}{2}\]
Тогда:
\[c=\frac{1}{16a}\]
Получаем уравнение парабол:
\[ y = ax^2 + bx+c=ax^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16a}\]
Составим дифференциальное уравнение. Продифференцируем уравнение семейства парабол.
\[y'=2ax+\frac{1}{2}\]
Выразим \(a\):
\[4ax=2y'-1\]
\[a=\frac{2y'-1}{4x}\]
Подставив \(a\) в уравнение семейства парабол получим:
\[ y =\frac{2y'-1}{4x}x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{16}\frac{4x}{2y'-1}\]
\[ y =\frac{x(2y'-1)^2+2x(2y'-1)+x}{4(2y'-1)}\]
\[ y =x\frac{(2y'-1)^2+2(2y'-1)+1}{4(2y'-1)}\]
\[ y =x\frac{(2y'-1)^2+2(2y'-1)+1}{4(2y'-1)}\]
\[ y =x\frac{(2y'-1+1)^2}{4(2y'-1)}\]
\[ y =x\frac{4y'^2}{4(2y'-1)}\]
\[ y(2y'-1) =xy'^2\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[ y(2y'-1) =xy'^2.\]
Комментариев нет:
Отправить комментарий