Задача 30. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса \(1\), центры которых лежат на прямой \(y = 2x\).

Решение
Составим уравнение окружностей радиуса \(1\), центры которых лежат на прямой \(y = 2x\):
Уравнение окружности: \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\), где \(R\) - радиус, \((a,b)\) - центр окружности.
Тогда при \(R=1\) и \(b=2a\) мы получим семейство окружностей радиуса \(1\), центры которых лежат на прямой \(y = 2x\): \((x-a)^2+(y-2a)^2=1\).
Составим дифференциальное уравнение. Продифференцируем уравнение семейства окружностей.
\[2(x-a)+2(y-2a)y'=0\]
\[x-a+yy'-2ay'=0\]
Выразим параметр \(a\):
\[x+yy'=a(1+2y')\]
\[a=\frac{x+yy'}{1+2y'}\]
Подставим \(a\) в уравнение семейства окружностей:
\[(x-a)^2+(y-2a)^2=1 \ \Rightarrow \ (x-\frac{x+yy'}{1+2y'})^2+(y-2\frac{x+yy'}{1+2y'})^2=1 \]
\[[x(1+2y') -(x+yy')]^2+[y(1+2y') -2(x+yy')]^2=(1+2y')^2\]
\[(2xy' -yy')^2+(y-2x)^2=(1+2y')^2\]
\[y'^2(2x -y)^2+(y-2x)^2=(1+2y')^2\]
\[(y'^2+1)(y-2x)^2=(1+2y')^2\]
Таким образом, дифференциальное уравнение имеет вид:
\[(y'^2+1)(y-2x)^2=(1+2y')^2.\]