Задача 29. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(x=ay^2+by+c\).

Решение
Уравнение имеет три параметра, продифференцируем его три раза, считая что \(x=x(y)\):
\[x_y'=2ay+b\]
\[x_y''=2a\]
\[x_y'''=0\]
Получаем, \(x=ay^2+by+c\) является общим решением уравнения \(x_y'''=0\).
Перейдем к обратной функции \(y=y(x)\):
Первая производная обратной функции:
\[x_y'=\frac{1}{y_x'}\]
Вторая производная обратной функции:
\[x_y''=\Bigl(\frac{1}{y_x'}\Bigr)_y'=-\frac{y_x''x_y'}{y_x'^2}=-\frac{y_x''}{y_x'^3}\]
Третья производная обратной функции:
\[x_y'''=\Bigl(-\frac{y_x''}{y_x'^3}\Bigr)_y'=-\frac{y_x'''x_y'y_x'^3-3y_x'^2y_x''x_y'y_x''}{y_x'^6}=\frac{3y_x''^2-y_x'''y_x'}{y_x'^5}\]
Приравняем к нулю третью производную обратной функции:
\[\frac{3y_x''^2-y_x'''y_x'}{y_x'^5}=0 \ \Rightarrow \ 3y_x''^2-y_x'''y_x'=0\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[3y''^2=y'''y'\]