Задача 28. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y=ax^3+bx^2+cx\).

Решение
Уравнение имеет три параметра, продифференцируем его три раза:
\[y'=3ax^2+2bx+c\]
\[y''=6ax+2b\]
\[y'''=6a\]
Выразим параметры \(a\), \(b\), \(c\):
\[a=\frac{y'''}{6}\]
\[b=\frac{y''-6ax}{2}=\frac{y''-y'''x}{2}\]
\[c=y'-3ax^2-2bx=y'-\frac{y'''x^2}{2}-(y''-y'''x)x=y'+\frac{y'''x^2}{2}-y''x\]
Подставим \(a\), \(b\), \(c\) в исходное уравнение \(y=ax^3+bx^2+cx\):
\[y=\frac{y'''}{6}x^3+\frac{y''-y'''x}{2}x^2+(y'+\frac{y'''x^2}{2}-y''x)x\]
\[y'''x^3+3(y''-y'''x)x^2+6y'x+3y'''x^3-6y''x^2-6y=0\]
\[y'''x^3+3y''x^2-3y'''x^3+6y'x+3y'''x^3-6y''x^2-6y=0\]
\[y'''x^3-3y''x^2+6y'x-6y=0\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[y'''x^3-3y''x^2+6y'x-6y=0\]