Задача 27. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(\ln y=ax+by\).

Решение
Уравнение имеет два параметра, продифференцируем его дважды:
\[\frac{1}{y}y'=a+by'\]
\[-\frac{1}{y^2}y'^2+\frac{y''}{y}=by''\]
Выразим \(b\) из второго уравнения:
\[b=\frac{y''y-y'^2}{y^2y''}\]
Подставим \(b\) в первое уравнение и выразим \(a\):
\[\frac{1}{y}y'=a+by'\]
\[\frac{1}{y}y'=a+\frac{y''y-y'^2}{y^2y''}y'\]
\[a=\frac{y'}{y}-\frac{y''y-y'^2}{y^2y''}y'\]
\[a=\frac{y'y''y-y''yy'+y'^3}{y^2y''}=\frac{y'^3}{y^2y''}\]
Подставим \(a\) и \(b\) в исходное уравнение \(\ln y=ax+by\):
\[\ln y=\frac{y'^3}{y^2y''}x+\frac{y''y-y'^2}{y^2y''}y\]
\[y^2y''\ln y =xy'^3+(y''y-y'^2)y\]
\[y^2y''\ln y =xy'^3+y''y^2-y'^2y\]
\[y^2y''(\ln y-1) =y'^2(xy'-y)\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[y^2y''(\ln y-1) =y'^2(xy'-y).\]