Задача 26. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \((x-a)^2+by^2=1\).

Решение
Уравнение имеет два параметра, продифференцируем его дважды:
\[2(x-a)+2byy'=0 \ \Rightarrow \ x-a+byy'=0\]
\[2+2b(y'^2+yy'')=0 \ \Rightarrow \ 1+b(y'^2+yy'')=0\]
Выразим \(b\) из второго уравнения:
\[b=-\frac{1}{y'^2+yy''}\]
Подставим \(b\) в первое уравнение и выразим \(a\):
\[x-a+byy'=0\]
\[x-a-\frac{1}{y'^2+yy''}yy'=0\]
\[a=x-\frac{1}{y'^2+yy''}yy'\]
Подставим \(a\) и \(b\) в исходное уравнение \((x-a)^2+by^2=1\):
\[\Bigl(x-x+\frac{1}{y'^2+yy''}yy'\Bigr)^2-\frac{1}{y'^2+yy''}y^2=1\]
\[\Bigl(\frac{yy'}{y'^2+yy''}\Bigr)^2-\frac{y^2}{y'^2+yy''}=1\]
\[(yy')^2-y^2(y'^2+yy'')=(y'^2+yy'')^2\]
\[-y^3y''=(y'^2+yy'')^2\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид: \(-y^3y''=(y'^2+yy'')^2 \).