Задача 25. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y=ax^2+be^x\).

Решение
Уравнение имеет два параметра, найдем первую и вторую производные:
\[y'=2ax+be^x\]
\[y''=2a+be^x\]
Вычтем из первого уравнения второе, получим:
\[y'-y''=2a(x-1)\]
Выразим \(a\):
\[a=\frac{y'-y''}{2(x-1)}\]
Подставим \(a\) во второе уравнение:
\[y''=2a+be^x=2\frac{y'-y''}{2(x-1)}+be^x\]
Выразим \(b\):
\[be^x=y''-\frac{y'-y''}{(x-1)}\]
\[be^x=\frac{y''x-y''-y'+y''}{(x-1)}\]
\[b=\frac{y''x-y'}{e^x(x-1)}\]
Подставим \(a\) и \(b\) в исходное уравнение:
\[y=ax^2+be^x=\frac{y'-y''}{2(x-1)}x^2+\frac{y''x-y'}{e^x(x-1)}e^x\]
\[2y(x-1)=(y'-y'')x^2+2(y''x-y')\]
\[2y(x-1)=y'x^2-y''x^2+2y''x-2y'\]
\[2y(x-1)=y''x(2-x)+y'(x^2-2)\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[y''x(2-x)+y'(x^2-2)-2y(x-1)=0.\]