Задача 24. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(Cy=\sin Cx\).

Решение
Продифференцируем уравнение неявно:
\[Cy'=C \cos Cx\]
\[y'= \cos Cx\]
Выразим \(\sin Cx\):
\[(y')^2=\cos^2 Cx\]
\[(y')^2=-(1-\cos^2 Cx)+1\]
\[(y')^2=-\sin^2Cx+1\]
\[\sin^2Cx=1-(y')^2\]
Возведем исходное уравнение в квадрат и подставим в него \(\sin^2Cx\):
\[C^2y^2=\sin^2 Cx=1-(y')^2\]
Выразим \(C\):
\[C^2y^2=1-(y')^2\]
\[C^2=\frac{1-(y')^2}{y^2}\]
\[C=\sqrt{\frac{1-(y')^2}{y^2}}\]
Подставим полученное \(C\) в \(y'= \cos Cx\):
\[y'= \cos \Bigl(\sqrt{\frac{1-(y')^2}{y^2}}x\Bigr)=\cos \Bigl(\frac{x\sqrt{1-(y')^2}}{y}\Bigr)\]