Задача 23. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y=C(x-C)^2\).

Решение
\[y'=2C(x-C)\]
Выразим \(C(x-C)\) и подставим в исходное уравнение:
\[C(x-C)=\frac{y'}{2}\]
\[y=C(x-C)^2=(x-C)\frac{y'}{2}\]
Выразим \(C\):
\[C=x-\frac{2y}{y'}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[y=\Bigl(x-\frac{2y}{y'}\Bigr)\Bigl(x-\Bigl(x-\frac{2y}{y'}\Bigr)\Bigr)^2\]
\[y=\Bigl(x-\frac{2y}{y'}\Bigr)\frac{4y^2}{(y')^2}\]
\[y(y')^3=4xy^2y'-8y^3\]
\[(y')^3=4xyy'-8y^2\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[(y')^3=4y(xy'-2y).\]