Задача 22. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y^2+Cx =x^3\).

Решение
Продифференцируем уравнение неявно:
\[2yy'+C=3x^2\]
Выразим \(C\):
\[C=3x^2-2yy'\]
Подставим в исходное уравнение:
\[y^2+Cx =x^3 \ \Rightarrow \ y^2+x(3x^2-2yy')=x^3\]

\[y^2+3x^3-2xyy'=x^3\]
\[y^2+2x^3-2xyy'=0\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[2x^3=2xyy'-y^2.\]