Задача 21. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(x^2+Cy^2 =2y\).

Решение
Продифференцируем уравнение неявно:
\[2x+2Cyy'=2y'\]
Выразим \(C\):
\[C=\frac{2y'-2x}{2yy'}=\frac{y'-x}{yy'}.\]
Подставим в исходное уравнение:
\[x^2+Cy^2 =2y \ \Rightarrow \ x^2+\frac{y'-x}{yy'}y^2=2y\]
\[x^2y'+y'y-xy=2yy'\]
\[x^2y'-xy=yy'\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[x^2y'-xy=yy'.\]