Задача 20. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y =\sin(x+C)\).

Решение
\[y'=\cos(x+C)\]
Преобразуем выражение так, чтобы можно было выразить \(\sin(x+C)\):
\[(y')^2=\cos^2(x+C)\]
\[1-(y')^2=1-\cos^2(x+C)\]
\[1-(y')^2=\sin^2(x+C)\]
Подставим исходное уравнение семейства линий в полученное выражение:
\[1-(y')^2=\sin^2(x+C)=y^2.\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[1=y^2+(y')^2.\]