Задача 18. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Составить дифференциальное уравнение семейства линий \(y =(x-C)^3\).

Решение
\[y'=3(x-C)^2\]
Выразим \(C\):
\[x-C=\sqrt{\frac{y'}{3}}\]
\[C=x-\sqrt{\frac{y'}{3}}\]
Подставим в исходное уравнение:
\[y=(x-C)^3=(x-x+\sqrt{\frac{y'}{3}})=\sqrt{\frac{y'}{3}}^3\]
Таким образом, дифференциальное уравнение семейства линий имеет вид:
\[y=\sqrt{\frac{y'}{3}}^3\]
или:
\[y'=3y^\frac{2}{3}.\]