Задача 14. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \((x^2+y^2)y'=4x\).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда \(k(x^2+y^2)=4x\).
Изоклинами являются окружности. Приведем уравнение к каноническому виду:
\[x^2+y^2-\frac{4x}{k}=0\]
\[x^2+y^2-2\cdot x \frac{2}{k}-\Bigl(\frac{2}{k}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{2}{k}\Bigr)^2=0\]
\[\Bigl(x-\frac{2}{k}\Bigr)^2+y^2-\Bigl(\frac{2}{k}\Bigr)^2=0\]
\[\Bigl(x-\frac{2}{k}\Bigr)^2+y^2=\Bigl(\frac{2}{k}\Bigr)^2\]
Изоклинами являются окружности c центром в точке \((2/k,0)\) и радиусом \(2/|k|\). При \(k=0\), уравнение изоклин принимает вид \(x=0\). Построим изоклины для значений \(k\) равных \(-3,-2,-1,0,1,2,3,\) отметим направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения: