Задача 13. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \(x^2+y^2y'=1\).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда \(x^2+ky^2=1\)
При \(k=0\), уравнение изоклин принимает вид \(x^2=1\) или \(x=\pm 1\).
При \(k\gt0\), изоклинами являются эллипсы с центром в начале координат и полуосями \(a=1\), \(b=1/\sqrt{k}\).
При \(k\lt0\), изоклинами являются гиперболы с центром в начале координат и полуосями \(a=1\), \(b=1/\sqrt{-k}\).
Построим изоклины для значений \(k\) равных \(-3,-2,-1,0,1,2,3,\) отметим направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения: