Задача 12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \(y'=\frac{y}{x+y} \).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда:
\[k=\frac{y}{x+y}\]
\[k(x+y)=y\]
\[kx=y-yk\]
\[y=x\frac{k}{1-k}\]
Изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат. При \(k=0\), уравнение изоклины имеет вид \(y=0\), эта изоклина является решением исходного уравнения. При \(k=1\), уравнение изоклины имеет вид \(x=0\).

Построим изоклины для значений \(k\) равных \(-3,-2,-1,0,1,2,3\), отметим направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения: