Задача 11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \(y'=\frac{y-3x}{x+3y} \).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда:
\[k=\frac{y-3x}{x+3y}\]
\[k(x+3y)=y-3x\]
\[kx+3x=y-3yk\]
\[y=x\frac{k+3}{1-3k}\]

Изоклинами являются прямые, проходящие через начало координат. Построим изоклины для значений \(k\) равных \(-3,-2,-1,0,1,2,3\), отметим направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения: