Задача 15. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Написать уравнение геометрического места точек \((x,y)\), являющихся точками максимума или минимума решений уравнения \(y'=f(x,y)\). Как отличить точки максимума от точек минимума?

Решение
Геометрическим местом точек \((x,y)\), являющихся точками максимума или минимума решений уравнения \(y'=f(x,y)\), является изоклина \(f(x, y) = 0\). В этой изоклине \(y'=0\) и угловой коэффициент касательной к интегральной кривой равен нулю.

Чтобы определить, максимум или минимум достигается в этой точке, необходимо найти вторую производную \(y''=f'_x(x,y)\). Если вторая производная \(f_x'\lt0\) отрицательна, то интегральная кривая выпукла вверх, соответственно в точке достигается максимум. Если вторая производная \(f_x'\gt0\) положительна, то интегральная кривая выпукла вниз, соответственно в точке достигается минимум.