Задача 4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \((y^2+1)y'=y-x\).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда \(-ky^2+y-k=x\).
Изоклинами являются параболы. При \(k=0\), изоклиной является прямая \(y=x\). Найдем координаты вершин парабол:

\[x_0=\frac{1-4k^2}{4k},\ y_0=\frac{1}{2k}.\]

Найдем координаты вершин для разных значений \(k\):
\begin{array}{|l|l|l|}
\hline
k & x_0 & y_0 \\
\hline
-3& 2.91& -0.16\\
-2& 1.87& -0.25\\
-1& 0.75& -0.5\\
1& -0.75& 0.5\\
2& -1.87 & 0.25\\
3& -2.91& 0.16\\
\hline
\end{array}
Построим изоклину \(y=x\) для \(k=0\), семейство парабол для значений \(k\) равных \( -3, -2, -1,1,2, 3\) , отметим направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения: