Задача 3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения $y'=\frac{x^2+y^2}{2}-1$.

Решение
Для получения уравнения изоклин положим $y′=const=k$, тогда $y^2+x^2=2k+2$ или $y=\pm \sqrt{2k+2-x^2}$, где $k\ge-1$.

Изоклинами являются окружности с центром в точке $(0,0)$. При $k=-1$ окружность вырождается в точку. При возрастании $k$, растет радиус окружностей, и касательная к интегральным кривым становится более вертикальной.

Построим семейство окружностей для значений $k$ равных $0,1,2, 3$ , отметим направления задаваемые параметром $k$ и построим решения: