Задача 2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения $2(y+y')=x+3$.

Решение
Для получения уравнения изоклин положим $y′=const=k$, тогда $2(y+k)=x+3$ или $y=(x+3)/2-k$.
Изоклинами являются параллельные прямые. Построим семейство прямых для значений $k$ равных $-3, -2,-1, 0,1,2, 3$, отметим на прямых направления задаваемые параметром $k$ и построим решения.

Из построений видно что одна из изоклин является решением уравнения. Найдем эту изоклину, подставив общее уравнение изоклин в исходное уравнение:
$$y=(x+3)/2-k \Rightarrow y'=\frac{1}{2},$$
Тогда:
$$2\Bigl(\frac{x+3}{2}-k+\frac{1}{2}\Bigr)=x+3$$
$$x+3-2k+1=x+3$$
Получаем $k=0.5$. То есть изоклина $y=(x+3)/2-0.5$ является решением исходного уравнения.