Задача 2. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

C помощью изоклин начертить (приближенно) решения уравнения \(2(y+y')=x+3\).

Решение
Для получения уравнения изоклин положим \(y′=const=k\), тогда \(2(y+k)=x+3\) или \(y=(x+3)/2-k\).
Изоклинами являются параллельные прямые. Построим семейство прямых для значений \(k\) равных \(-3, -2,-1, 0,1,2, 3\), отметим на прямых направления задаваемые параметром \(k\) и построим решения.

Из построений видно что одна из изоклин является решением уравнения. Найдем эту изоклину, подставив общее уравнение изоклин в исходное уравнение:
\[y=(x+3)/2-k \Rightarrow y'=\frac{1}{2},\]
Тогда:
\[2\Bigl(\frac{x+3}{2}-k+\frac{1}{2}\Bigr)=x+3\]
\[x+3-2k+1=x+3\]
Получаем \(k=0.5\). То есть изоклина \(y=(x+3)/2-0.5\) является решением исходного уравнения.