Задача 179. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Пусть в уравнении $xy’ + ay = f(x)$ имеем $a = const \gt 0$, $f(x)\to b$ при $x\to 0$. Показать, что только одно решение уравнения остается ограниченным при $x\to 0$, и найти предел этого решения при $x\to 0$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$y’ + \frac{a}{x}y = \frac{f(x)}{x}$$

Найдем решение однородного уравнения:
$$y’ + \frac{a}{x}y =0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=-a\frac{dx}{x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\ln|y|=-a\ln|x|+\ln C$$
$$y=\frac{C}{x^a}$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=\dfrac{C}{x^a}$.

Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=\dfrac{C'}{x^a}-aC\dfrac{1}{x^{a+1}}$, то:
$$\dfrac{C'}{x^a}-aC\dfrac{1}{x^{a+1}} + \frac{a}{x}\dfrac{C}{x^a} = \frac{f(x)}{x}$$
$$\dfrac{C'}{x^a}= \frac{f(x)}{x}$$
$$C'= x^{a-1}f(x)$$
$$C=\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt+C_1$$

Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=\dfrac{C}{x^a}=\left(\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt+C_1\right)\dfrac{1}{x^a}$$

Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt$$

Представим $f(x)$ как $f(x)=b+g(x)$, соответственно так как $f(x)\to b$, то $g(x)\to 0$ при $x\to 0$. Получаем:
$$y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x (b+g(t))t^{a-1}dt=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{b}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}dt+\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt$$
Или:
$$y=\dfrac{C_1}{x^a}+ \dfrac{b}{a}+\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt$$

Рассмотрим $\lim\limits_{x\to 0}y(x)$:
$$\lim\limits_{x\to 0}y(x)= \dfrac{b}{a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{C_1}{x^a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt$$
Для определения сходимости последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя (дифференцируем числитель и знаменатель дроби):
$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x g(t)t^{a-1}dt=\lim\limits_{x\to 0}\frac{g(x)x^{a-1}}{ax^{a-1}}=\frac{1}{a}\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0$$
Получаем:
$$\lim\limits_{x\to 0}y(x)= \dfrac{b}{a}+\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{C_1}{x^a}$$
Отсюда следует, что $\lim\limits_{x\to 0}y(x)$ существует и ограничен только при $C_1=0$ и равен $\dfrac{b}{a}$.

Таким образом, только одно решение уравнения остается ограниченным при $x\to 0$, и это решение имеет вид:
$$y=\dfrac{1}{x^a}\int\limits_0^x t^{a-1}f(t)dt$$
Предел этого решения при $x\to 0$ равен $\dfrac{b}{a}$.

Примечание: функция $x^a$ при дробных значения $a$ не определена при $x\lt 0$.