Задача 178. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Найти то решение уравнения $y^{\prime} \sin 2 x=2(y+\cos x)$, которое остается ограниченным при $x\to \pi/2$.

Решение
Преобразуем уравнение:
$$y'-\frac{2y}{\sin 2x}=2\frac{\cos x}{\sin 2x}$$
Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением.
Найдем решение однородного уравнения:
$$y'-\frac{2y}{\sin 2x}=0$$
Разделим переменные:
$$\frac{dy}{y}=2\frac{dx}{\sin 2x}$$
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
$$\int \frac{dy}{y}=2\int \frac{dx}{\sin 2x}$$
Правый интеграл:
$$\int \frac{dx}{\sin 2x}=\int \frac{dx}{2\sin x \cos x}=\int \frac{\cos x dx}{2\sin x \cos^2 x}=\int \frac{1}{2\operatorname{tg} x}d(\operatorname{tg} x)=\frac{\ln|\operatorname{tg} x|}{2}+\ln C$$
Получаем:
$$\ln|y|=\ln|\operatorname{tg} x|+\ln C$$
$$y=C\operatorname{tg} x$$
Таким образом, решение однородного уравнения: $y=C\operatorname{tg} x$.
Считая постоянную $C$ функцией от $x$, подставим решение однородного уравнения в исходное уравнение.
Так как $y'=C'\operatorname{tg} x+C\dfrac{1}{\cos^2x}$, то:
$$C'\operatorname{tg} x+C\dfrac{1}{\cos^2x}-\frac{2C\operatorname{tg} x}{\sin 2x}=2\frac{\cos x}{\sin 2x}$$
$$C'\operatorname{tg} x=2\frac{\cos x}{\sin 2x}$$
$$C'\frac{\sin x}{\cos x}=2\frac{\cos x}{2\sin x \cos x}$$
$$C'=\frac{\cos x}{\sin^2 x }$$
$$C=\int\frac{\cos x}{\sin^2 x }dx=\int\frac{d(\sin x)}{\sin^2 x }=-\frac{1}{\sin x}+C_1$$
Подставим полученную функцию в решение однородного уравнения:
$$y=C\operatorname{tg} x=\left(-\frac{1}{\sin x }+C_1\right)\operatorname{tg} x=C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}$$
Таким образом, общее решение исходного уравнения:
$$y=C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}$$
Рассмотрим $\lim\limits_{x\to\pi/2}y(x)$:
$$\lim\limits_{x\to\pi/2}y(x)=\lim\limits_{x\to\pi/2}\left(C_1\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}\right)$$
Предел существует только при $C_1=1$ и равен нулю.
Таким образом, решение исходного уравнения, которое остается ограниченным при $x\to \pi/2$:
$$y=\operatorname{tg} x-\frac{1}{\cos x}.$$