Задача 221. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям

Построить последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению данного уравнения с данными начальными условиями:

a) $y^{\prime}=x-y^{2}$, $y(0)=0$

б) $y^{\prime}=y^{2}+3 x^{2}-1$, $y(1)=1$

в) $y^{\prime}=y+\mathrm{e}^{y-1}$,  $y(0)=1$

г) $y^{\prime}=1+x \sin y$, $y(\pi)=2 \pi$

Решение

Воспользуемся формулой:

$$y_{0}(x)=y_{0}, \quad y_{k}(x)=y_{0}+\int_{x_{0}}^{x} f\left(s, y_{k-1}(s)\right) \mathrm{d} s, \quad k\in Z_0$$

a) $y^{\prime}=x-y^{2}$, $y(0)=0$

$$y_{0}(x)=0$$

$$y_{k}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(s-y^2_{k-1}(s)\right) \mathrm{d} s, \quad k\in Z_0$$

Для $k=1$, получаем:

$$y_{1}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(s-y^2_{0}(s)\right) \mathrm{d} s=\int_{0}^{x} s \  \mathrm{d} s=\frac{x^2}{2}$$

Для $k=2$, получаем:

$$y_{2}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(s-y^2_{1}(s)\right) \mathrm{d} s=\int_{0}^{x} \left(s-\frac{s^4}{4}\right)  \mathrm{d} s=\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{20}$$

Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению  уравнения:

$$y_{0}=0, \ y_1=\frac{x^2}{2}, \ y_2=\frac{x^2}{2}-\frac{x^5}{20}.$$

б) $y^{\prime}=y^{2}+3 x^{2}-1$, $y(1)=1$

$$y_{0}(x)=1$$

$$y_{k}(x)=y_{0}+\int_{1}^{x} \left(y_{k-1}^{2}(s)+3 s^{2}-1\right) \mathrm{d} s, \quad k\in Z_0$$

Для $k=1$, получаем:

$$y_{1}(x)=y_{0}+\int_{1}^{x} \left(y_0^{2}(s)+3 s^{2}-1\right) \mathrm{d} s=1+\int_{1}^{x} \left(1+3 s^{2}-1\right) \mathrm{d} s=1+x^3-1=x^3$$

Для $k=2$, получаем:

$$y_{2}(x)=y_{0}+\int_{1}^{x} \left(y_1^{2}(s)+3 s^{2}-1\right) \mathrm{d} s=1+\int_{1}^{x} \left(s^6+3 s^{2}-1\right) \mathrm{d}s = \\ =1+\frac{x^7}{7}+x^3-x-\frac{1}{7}-1+1=1-\frac{1}{7}+\frac{x^7}{7}+x^3-x$$

Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению  уравнения:

$$y_{0}=1, \ y_1=x^3, \ y_2=1-\frac{1}{7}+\frac{x^7}{7}+x^3-x.$$

в) $y^{\prime}=y+e^{y-1}$,  $y(0)=1$

$$y_{0}(x)=1$$

$$y_{k}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(y_{k-1}(s)+e^{y_{k-1}(s)-1} \right) \mathrm{d} s, \quad k\in Z_0$$

Для $k=1$, получаем:

$$y_{1}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(y_{0}(s)+e^{y_{0}(s)-1} \right) \mathrm{d} s=1+2\int_{0}^{x}  \mathrm{d} s=1+2x$$

Для $k=2$, получаем:

$$y_{2}(x)=y_{0}+\int_{0}^{x} \left(y_{1}(s)+e^{y_{1}(s)-1}\right) \mathrm{d} s=1+\int_{0}^{x} \left(1+2s+e^{2s}\right) \mathrm{d}s=1+x+x^2+\frac{e^{2x}}{2} -\frac{1}{2}$$

Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению  уравнения:

$$y_{0}=1, \ y_1=1+2x, \ y_2=\frac{1}{2}+x+x^2+\frac{e^{2x}}{2}.$$

г) $y^{\prime}=1+x \sin y$, $y(\pi)=2 \pi$

$$y_{0}(x)=2 \pi$$

$$y_{k}(x)=y_{0}+\int_{\pi}^{x} \left(1+s \sin y_{k-1}(s) \right) \mathrm{d} s, \quad k\in Z_0$$

Для $k=1$, получаем:

$$y_{1}(x)=y_{0}+\int_{\pi}^{x} \left(1+s \sin y_0(s) \right) \mathrm{d} s=2\pi+\int_{\pi}^{x}  \left(1+ s \sin (2\pi) \right)\mathrm{d} s=2\pi+x-\pi=x+\pi$$

Для $k=2$, получаем:

$$y_{2}(x)=y_{0}+\int_{\pi}^{x} \left(1+s \sin y_1(s)\right) \mathrm{d} s=2\pi+\int_{\pi}^{x} \left(1+s \sin(s+\pi)\right) \mathrm{d}s=2\pi+\int_{\pi}^{x} \left(1-s \sin s\right) \mathrm{d}s$$

Найдем интеграл:

$$\int \left(1-s \sin s\right) \mathrm{d}s=s+\int s \  d(\cos s) =s+s\cos s-\int \cos s \ ds=s+s\cos s-\sin s+C$$

Получаем:

$$y_{2}(x)=2\pi+x +x\cos x-\sin x-\pi+\pi=2\pi+x +x\cos x-\sin x$$

Таким образом, получаем последовательные приближения $y_0$, $y_1$, $y_2$ к решению  уравнения:

$$y_{0}=2\pi, \ y_1=x+\pi, \ y_2=2\pi+x +x\cos x-\sin x.$$