Построить по два последовательных приближения (не считая исходного) к решениям
следующих уравнений и систем:
a) y′=2x+z, z′=y ; y(1)=1,
z(1)=0.
б) dxdt=y, dydt=x2; x(0)=1, y(0)=2.
в) y″ ; y(0)=1, y'(0)=0.
г) \dfrac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=3 t x ;
x(1)=2,\left. \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{t=1}=-1
Решение
a) y'=2 x+z, z^{\prime}=y ; y(1)=1,
z(1)=0.
Начальные приближения:
y_0(x)=1, \ z_0(x)=0
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
y_{k+1}(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{k}(s)\right) d s, \
z_{k+1}(x)=\int_{1}^{x} y_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0
Для k=1, получаем:
y_1(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{0}(s)\right) d
s=1+\int_{1}^{x}\left(2s\right) d s=1+x^2-1=x^2
z_1(x)=\int_{1}^{x} y_{0}(s) d s=\int_{1}^{x} d s=x-1
Для k=2, получаем:
y_2(x)=1+\int_{1}^{x}\left(2s+z_{1}(s)\right) d
s=1+\int_{1}^{x}\left(2s+s-1\right) d
s=\\=1+\frac{3x^2}{2}-x-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}+\frac{3x^2}{2}-x
z_2(x)=\int_{1}^{x} y_{1}(s) d s=\int_{1}^{x} s^2 d
s=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходной системы
уравнений:
y_0(x)=1, \ y_1(x)=x^2, \ y_2(x)=\frac{1}{2}+\frac{3x^2}{2}-x
z_0(x)=0, \ z_1(x)=x-1, \ z_2(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{1}{3}
б) \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=y, \dfrac{\mathrm{d}
y}{\mathrm{d} t}=x^{2} ; x(0)=1, y(0)=2.
Начальные приближения:
x_0(t)=1, \ y_0(t)=2
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
x_{k+1}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{k}(s) \ d s, \ y_{k+1}(t)=2+\int_{0}^{t}
x^2_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0
Для k=1, получаем:
x_{1}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{0}(s) \ d s=1+2\int_{0}^{t} d s=1+2t
y_{1}(t)=2+\int_{0}^{t} x^2_{0}(s) d s=2+\int_{0}^{t} d s=2+t
Для k=2, получаем:
x_{2}(t)=1+\int_{0}^{t}y_{1}(s) \ d s=1+\int_{0}^{t} \left(2+s\right)d
s=1+2t+\frac{t^2}{2}
y_{2}(t)=2+\int_{0}^{t} x^2_{1}(s) d s=2+\int_{0}^{t} \left(1+2s\right)^2 d
s=\\=2+\int_{0}^{t} \left(1+4s+4s^2\right) d s=2+t+2t^2+\frac{4t^3}{3}
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходной системы
уравнений:
x_0(t)=1, \ x_{1}(t)=1+2t, \ x_{2}(t)=1+2t+\frac{t^2}{2}
y_0(t)=2, \ y_{1}(t)=2+t, \ y_{2}(t)=2+t+2t^2+\frac{4t^3}{3}
в) y'' +y'^2 -2 y=0 ; y(0)=1, y'(0)=0.
Сведем данное уравнение второго порядка к системе уравнений. Пусть z=y',
тогда:
y'=z, \ z'=2y-z^2
Начальные условия принимают вид:
y(0)=1, \ z(0)=0
Начальные приближения:
y_0(x)=1, \ z_0(x)=0
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
y_{k+1}(x)=1+\int_{0}^{x} z_{k}(s) d s, \
z_{k+1}(x)=\int_{0}^{x}\left(2y_k(s)-z^2_{k}(s)\right) d s, \quad k\in Z_0
Для k=1, получаем:
y_1(x)=1+\int_{0}^{x}z_{0}(s) \ d s=1
z_1(x)=\int_{0}^{x} \left(2y_0(s)-z^2_{0}(s)\right) d s=2\int_{0}^{x} d
s=2x
Для k=2, получаем:
y_2(x)=1+\int_{0}^{x}z_{1}(s) \ d s=1+2\int_{0}^{x} s\ d s=1+x^2
z_2(x)=\int_{0}^{x} \left(2y_1(s)-z^2_{1}(s)\right) d s=\int_{0}^{x}
\left(2-4s^2\right) d s=2x-\frac{4x^3}{3}
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходного уравнения:
y_0(x)=1, \ y_1(x)=1, \ y_2(x)=1+x^2
г) \dfrac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=3 t x ; x(1)=2,\left. \dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\right|_{t=1}=-1
Сведем данное уравнение второго порядка к системе уравнений. Пусть y=x',
тогда:
x'=y, \ y'=3tx
Начальные условия принимают вид:
x(1)=2, \ y(1)=-1
Начальные приближения:
x_0(t)=2, \ y_0(t)=-1
Рекуррентные формулы для последовательных приближений:
x_{k+1}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{k}(s) \ d s, \ y_{k+1}(t)=-1+\int_{1}^{t}
3tx_{k}(s) d s, \quad k\in Z_0
Для k=1, получаем:
x_{1}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{0}(s) \ d s=2-\int_{1}^{t} d s=3-t
y_{1}(t)=-1+\int_{1}^{t} 3sx_{0}(s) d s=-1+6\int_{1}^{t} s \ d
s=-1+3t^2-3=3t^2-4
Для k=2, получаем:
x_{2}(t)=2+\int_{1}^{t}y_{1}(s) \ d s=2+\int_{1}^{t}(3t^2-4) \ d
s=2+t^3-4t-1+4=5+t^3-4t
Таким образом, получаем последовательные приближения для исходного уравнения:
x_0(t)=2, \ x_{1}(t)=3-t, \ x_{2}(t)=5+t^3-4t